Сумма углов треугольника и теорема Гаусса–Бонне

Все мы знаем, что в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180$^\circ$. А знаем ли мы, что значат эти слова? Как мы понимаем выражение «сумма углов»? В каком смысле эта сумма «равна» 180$^\circ$?
В этой заметке мы сначала попытаемся понять, какие ответы на эти вопросы даёт стандартный учебник геометрии для 7-го класса, и, обсудив эти ответы, приведём две разные трактовки утверждения о сумме углов треугольника—чисто геометрическую и аналитическую (основанную на теории меры). Затем остановимся на второй трактовке и увидим, что она имеет красивейшее обобщение, которое, я думаю, окажется неожиданным для большинства читателей «Математического просвещения».