Уравновешенные разложения на множители в некоторых алгебрах

Мы доказываем, что во всяком поле характеристики не два и не три, кроме $\mathbb{F}_5$, каждый элемент раскладывается в произведение четырёх множителей, сумма которых равна нулю. Мы также находим все такие $k$, $n$, $q$, что каждая матрица размера $n\times n$ над полем из $q$ элементов раскладывается в произведение $k$ коммутирующих матриц с нулевой суммой.