Периодические последовательности

Остатки от деления членов последовательностей, определяемых рекуррентными соотношениями, на данное число $k$ образуют периодические последовательности. Примерами могут служить арифметические и геометрические прогрессии, степенные выражения $n^m$, в которых $n$ пробегает значения $0,1,2,\dots$, a $m$ является фиксированным положительным целым числом, числа Фибоначчи и многие другие последовательности. Нахождение периодов некоторых последовательностей является основной темой этой статьи.
Материал этой статьи может быть использован в математических кружках. Он также полезен и доступен учащимся старших классов, интересующимся математикой и принимающим участие в математических соревнованиях.