От линейной системы через геометрию к определителю

Данная статья адресована преподавателям высшей математики (особенно линейной алгебры), а также студентам вузов, желающим разобраться в основах линейной алгебры и получить ключ к целостному пониманию этого раздела математики.
Как правило, определение определителя матрицы вводится через перестановки. При этом утверждается, что эта функция должна обладать некоторыми свойствами. Однако для студентов остается загадкой, как можно было додуматься до введения такой странной функции, и как ее определение идейно связано с ее свойствами.
В статье предлагается некоторое рассуждение, которое позволяет ввести определение определителя матрицы (а также некоторых других понятий) естественным образом. Свойства определителя при этом становятся самоочевидными.