История гиперболических функций: их изучение и некоторые приложения

В работе рассматривается увлекательная история возникновения и изучения гиперболических функций, ставших ровесниками нового дифференциального и интегрального исчислений, развиваемых лучшими европейскими математическими умами XVII столетия. Поистине главным героем этой, подчас драматической, истории стала цепная линия (гиперболический косинус). Решение задачи об уравнении свободно подвешенной цепной линии (1691) триадой И. Бернулли–Г. Лейбниц–Х. Гюйгенс подвело черту под начальным этапом разработки основ современного математического анализа и ознаменовало его переход в зрелую фазу.
Приводятся примеры практического использования гиперболических функций, прежде всего, гиперболического косинуса. На основании принципа минимума потенциальной энергии тела в положении устойчивого равновесия дан современный вывод уравнения цепной линии как решение вариационной изопериметрической задачи (по Эйлеру). Построена (по Гюйгенсу) дискретная модель цепи как предельного (с увеличением дробления) случая ломаной из равноотстоящих точечных масс, связанных невесомыми гибкими нерастяжимыми нитями. Компьютерное моделирование показало, что с увеличением числа точечных масс (при фиксированной общей массе и длине цепи) ломаная быстро приближается к точной гладкой кривой. Проведен натурный эксперимент, показавший возможность точного, без каких-либо подгонок, сопоставления реально подвешенной цепи с модельным расчетом. Подчеркнут высокий педагогический потенциал свободно подвешенной цепи как удобного и доступного для разных уровней образования объекта для теоретического, модельного и натурного учебно-исследовательского изучения с использованием широкого спектра внутри- и межпредметных связей математики с физикой, механикой, ИКТ.
Статья публикуется с продолжением.