Операторы Штурма–Лиувилля

Пусть $(a,b)\subset\mathbb{R}$ — конечный или бесконечный интервал, $p_0(x)$, $q_0(x)$ и $p_1(x)$, $x\in(a,b)$, — вещественнозначные измеримые функции, такие что $p_0$, $p_0^{-1}$, $p_1^2p_0^{-1}$ и $q_0^2p_0^{-1}$ локально интегрируемы по Лебегу, т.е. принадлежат пространству $L_{\mathrm{loc}}^1(a, b)$, а $w(x)$, $x\in(a, b)$, — п.в. положительная функция. В настоящей работе изложено введение в спектральную теорию операторов, порождённых в пространстве $\mathcal{L}_w^2(a,b)$ формальными выражениями вида
$$ l[f]:=w^{-1}\{-(p_0f')'+i[(q_0f)'+q_0f']+p_1'f\}, $$
где всюду производные понимаются в смысле теории распределений. Конструкция, описанная в работе, позволяет корректно определить и включить минимальный оператор $L_0$, порождённый выражением $l[f]$ в пространстве $\mathcal{L}_w^2(a,b)$, в класс операторов, порождённых симметрическими (формально самосопряжёнными) квазидифференциальными выражениями второго порядка с локально интегрируемыми коэффициентами. В дальнейшем эти операторы будем называть операторами Штурма–Лиувилля. Таким образом, хорошо развитая спектральная теория квазидифференциальных операторов второго порядка применяется к изучению операторов Штурма–Лиувилля с коэффициентами-распределениями. Основной целью работы является построение теории Титчмарша–Вейля для указанных операторов. При этом вопрос о дефектных числах оператора $L_0$ — об условиях на коэффициенты $p_0$, $q_0$ и $p_1$, обеспечивающих реализацию случая предельной точки или предельного круга Вейля, — является центральным. На примере теории гамильтониана с $\delta$-взаимодействиями интенсивности $h_k$ с центрами в точках $x_k$, т.е. в случае когда
$$ l[f]=-f''+\sum_j h_j\delta(x-x_j)f, $$
проверяется эффективность полученных результатов.
Библиография: 38 названий.