Подстановки многогранников, симплициальных комплексов и мультиградуированные числа Бетти

Для симплициального комплекса $K$ на $m$ вершинах и симплициальных комплексов $K_1,\dots,K_m$ построен новый симплициальный комплекс $K(K_1,\dots,K_m)$ — комплекс подстановки. Эта конструкция является обобщением конструкции итерированной симплициальной вставки, изученной Э. Бари, М. Бендерским, Ф. Р. Коэном и С. Джитлером, и в ряде случаев позволяет описывать комбинаторику обобщенных джойнов многогранников $P(P_1,\dots,P_m)$, введенных Г. Агнарссоном. Операция подстановки определяет структуру операды на множестве конечных симплициальных комплексов, в которой симплициальный комплекс на $m$ вершинах рассматривается как $m$-арная операция. Доказаны следующие основные результаты: (1) комплекс $K(K_1,\dots,K_m)$ является симплициальной сферой в том и только том случае, когда $K$ — симплициальная сфера и $K_i$ — границы симплексов; (2) класс сферических нерв-комплексов замкнут относительно операции подстановки; (3) найдена формула, выражающая мультиградуированные числа Бетти комплекса $K(K_1,\dots,K_m)$ в терминах мультиградуированных чисел Бетти исходных комплексов $K$, $K_1,\dots,K_m$. Дан обзор взаимосвязи полученных результатов и конструкций с известными результатами других авторов. Библиография: 25 названий.