Рациональные функции, допускающие двойные разложения

Дж. Ритт [1] исследовал структуру множества комплексных многочленов по отношению к композиции. Многочлен $P(x)$ называется неразложимым, если представление $P=P_1\circ P_2$ возможно только в случае, когда $P_1$ или $P_2$ является линейной функцией. Разложение $P=P_1\circ P_2\circ \ldots\circ P_r$ называют максимальным, если все $P_j$ являются неразложимыми многочленами, отличными от линейных. Ритт доказал, что любые два максимальных разложения одного и того же многочлена имеют одну длину $r$, одно и то же (неупорядоченное) множество $\{\deg (P_j)\}$ степеней композиционных множителей и могут быть связаны конечной цепочкой преобразований, каждое из которых состоит в замене левой части следующего двойного разложения
\begin{equation} R_1\circ R_2=R_3\circ R_4\tag{1} \end{equation}
на его правую часть. Решениями последнего функционального уравнения являются неразложимые многочлены степени, большей чем один, и все они были явно перечислены Риттом.
Аналоги теории Ритта для рациональных функций к настоящему времени построены лишь для нескольких частных классов упомянутых функций, скажем для многочленов Лорана [2]. В данной заметке мы опишем определенный класс двойных разложений (1) с рациональными функциями $R_j(x)$ степени больше чем один. По существу, описанные ниже рациональные функции были открыты Е. И. Золотарёвым как решения некоторой оптимизационной задачи [4, 5]. Свойство двойного разложения для этих функций оставалось, однако, малоизвестным из-за их неудачного параметрического представления. Ниже мы даём (возможно, новое) представление для золотарёвских дробей, напоминающее известное представление для многочленов Чебышёва. Последние являются, кстати, специальным предельным случаем дробей Золотарёва.
Библиография: 5 названий.