On germs of constriction curves in model of overdamped Josephson junction, dynamical isomonodromic foliation and Painlevé 3 equation

Сильно шунтированный джозефсоновский переход моделируется семейством дифференциальных уравнений на двумерном торе, зависящем от трёх параметров: $B$ (абсцисса), $A$ (ордината), $\omega$ (частота). Мы исследуем его число вращения $\rho(B,A;\omega)$ как функцию от параметров. Трёхмерные зоны захвата  — это те её множества уровня $L_r:=\{\rho=r\}\subset{\mathbb R}^3$, которые имеют непустую внутренность. Они существуют только для $r\in{\mathbb Z}$, как показали В. М. Бухштабер, О. В. Карпов и С. И. Тертычный. Для $\omega>0$ и $r\in{\mathbb Z}$ плоское сечение $L_r\cap({\mathbb R}^2_{B,A}\times\{\omega\})$ есть гирлянда областей, уходящих «вертикально» к бесконечности и разделённых точками; те точки раздела, для которых $A\neq0$, называются перемычками. В совместной статье Ю. П. Бибило и автора было доказано, что 1) во всякой перемычке перемасштабированная абсцисса $\ell:=\frac B\omega$  — целое число, равное $\rho$; 2) семейство $\mathrm{Constr}_\ell$ перемычек, отвечающих данному значению $\ell\in{\mathbb Z}$,  — аналитическое подмногообразие в $({\mathbb R}^2_+)_{a,s}$, $a=\omega^{-1}$, $s=\frac A\omega$. В настоящей статье мы покажем, что 1) предельные точки подмногообразия $\mathrm{Constr}_\ell$ суть точки $\beta_{\ell,k}=(0,s_{\ell,k})$, где $s_{\ell,k}$  — положительные нули $\ell$-й функции Бесселя $J_\ell(s)$; 2) к каждой точке $\beta_{\ell,k}$ накапливается ровно одна его компонента ${\mathcal C}_{\ell,k}$ (кривая перемычек), и она регулярно входит в $\beta_{\ell,k}$. Известные портреты зон фазового захвата, полученные в ходе численных экспериментов, показывают, что достаточно высокие компоненты внутренности каждой зоны захвата $L_r$ «похожи» друг на друга. В совместной работе с Ю. П. Бибило автор предложил кандидата на отображение самоподобия между соседними компонентами: отображение Пуанкаре динамического изомонодромного слоения, управляемого уравнением Пенлеве 3. Там, где оно корректно определено, оно сохраняет функцию числа вращения. Мы покажем, что отображение Пуанкаре корректно определено на окрестности плоскости $\{ a=0\}\subset{\mathbb R}^2_{\ell,a}\times({\mathbb R}_+)_s$ и переводит каждый росток кривой перемычек $({\mathcal C}_{\ell,k},\beta_{\ell,k})$ в следующий росток $({\mathcal C}_{\ell,k+1},\beta_{\ell,k+1})$.