Homology group automorphisms of Riemann surfaces

Пусть $\Gamma$  — конечно порожденная фуксова группа, для которой производная группа $\Gamma'$ кокомпактна и свободна от кручения. Тогда $S={\mathbb H}^{2}/\Gamma'$  — компактная риманова поверхность рода $g\geqslant 2$, для которой абелева группа $A=\Gamma/\Gamma'$ является группой конформных автоморфизмов. В этом случае мы говорим, что $A$  — гомологическая группа поверхности $S$. Естественный вопрос  — единственна ли такая группа, иными словами, существуют ли две различные фуксовы группы $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, для которых $\Gamma_{1}'=\Gamma'_{2}$? Известно, что если и $\Gamma_{1}$, и $\Gamma_{2}$ имеют одинаковую сигнатуру вида $(0;k,\dots,k)$, где $k \geqslant 2$, то из равенства $\Gamma_{1}'=\Gamma_{2}'$ вытекает, что $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$. Обобщая этот результат, мы показываем, что если $\Gamma_{j}$ имеет сигнатуру $(0;k_{j},\ldots,k_{j})$ и $\Gamma_{1}'=\Gamma'_{2}$, то $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$. Мы также приводим примеры поверхностей $S$ с разными гомологическими группами. Кроме того, получено описание нормализатора каждой гомологической группы $A$ в ${\rm Aut}(S)$.