On the top homology group of the Johnson kernel

Действие группы классов отображений $\mathrm{Mod}_g$ ориентированной замкнутой поверхности $\Sigma_g$ на нижнем центральном ряде ее фундаментальной группы $\pi_1(\Sigma_g)$ определяет убывающую фильтрацию в группе $\mathrm{Mod}_g$, называемую фильтрацией Джонсона. Первые два члена этой фильтрации  — группа Торелли $\mathcal{I}_g$ и ядро Джонсона $\mathcal{K}_g$. Согласно фундаментальному результату Д. Джонсона (1985), группа $\mathcal{K}_g$ совпадает с подгруппой группы классов отображений $\mathrm{Mod}_g$, порожденной всеми скручиваниями Дена вдоль разделяющих кривых. В 2007 г. М. Бествина, К.-У. Букс и Д. Маргалит показали, что группа $\mathcal{K}_g$ имеет когомологическую размерность $2g-3$. Мы доказываем, что старшая группа гомологий $H_{2g-3}(\mathcal{K}_g)$ не является конечно порожденной. На самом деле мы показываем, что эта группа содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга и, значит, векторное пространство $H_{2g-3}(\mathcal{K}_g,\mathbb{Q})$ бесконечномерно. Более того, мы доказываем, что пространство $H_{2g-3}(\mathcal{K}_g,\mathbb{Q})$ не конечно порождено как модуль над групповым кольцом $\mathbb{Q}[\mathcal{I}_g]$.