Deligne categories and the periplectic Lie superalgebra

В данной статье мы изучаем стабилизацию конечномерной теории представлений периплектической супералгебры Ли $\mathfrak p(n)$ при $n\to \infty$. Мы описываем построение категории $\operatorname{Rep}(\underline{P})$, обладающей хорошими универсальными свойствами среди тензорных категорий, являющихся модулями над над категорией $\mathtt{sVect}$ конечномерных супервекторных пространств. Во-первых, эта категория является абелевой оболочкой категории Делиня, соответствующей семейству периплектических супералгебр Ли $\mathfrak p(n)$. Во-вторых, для любой тензорной категории $\mathcal C$, являющейся модулем над категорией $\mathtt{sVect}$, точные тензорные функторы $\operatorname{Rep}(\underline{P}) \to\mathcal C$ (совместимые с действием $\mathtt{sVect}$) классифицируют пары $(X, \omega)$ в $\mathcal C$, где $\omega\colon X \otimes X \to \Pi1$ есть билинейная симметричная невырожденная форма, а объект $X$ не аннулируется ни одним функтором Шура. Мы приводим два построения категории $\operatorname{Rep}(\underline{P})$: одно, явное, описывает данную категорию как предел категорий конечномерных представлений $\operatorname{Rep}(\mathfrak p(n))$ и основывается на функторах Дюфло – Сергановой из $\operatorname{Rep}(\mathfrak p(n))$ в $\operatorname{Rep}(\mathfrak p(n-1))$. Другое построение, неявное, навеяно П. Этингофом. Оно описывает категорию $\operatorname{Rep}(\underline{P})$ как категорию представлений некоей супергруппы в категории Делиня $\mathtt{sVect} \boxtimes \operatorname{Rep} (\underline{\mathrm{GL}}_t)$.