Spectra of quadratic vector fields on $\mathbb{C}^2$: the missing relation

Рассмотрим квадратичное векторное поле в $\mathbb C^2$ с изолированными нулями и инвариантной бесконечно удаленной прямой. Расширенным спектром назовем набор, состоящий из спектров матриц линеаризации в каждой из особых точек и характеристических чисел (индексов Камачо – Сада) особых точек на бесконечности. В этом наборе 11 чисел, и он сохраняется при замене векторного поля на аффинно эквивалентное. В этой статье мы находим все полиномиальные соотношения на эти числа. Всего есть пять независимых соотношений; четыре из них давно известны и следуют из теорем Эйлера – Якоби, Баума – Ботта и Камачо – Сада. Пятое соотношение ранее известно не было. Мы приводим для него явную формулу, обсуждаем его смысл, а также показываем, что его нельзя переформулировать в виде теоремы об индексе.