Embeddings of non-simply-connected $4$-manifolds in $7$-space. I. Classification modulo knots

Мы работаем в гладкой категории. Обозначим через $N$ замкнутое связное ориентируемое $4$-мерное многообразие без кручения в $H_1$, где $H_q:=H_q(N; \mathbb{Z})$. Основной результат  — полная классификация (в реально вычислимых терминах) вложений $N\to\mathbb{R}^7$, с точностью до эквивалентности, определяемой изотопией и вложенной связной суммой с вложениями $S^4\to\mathbb{R}^7$. Такая классификация была ранее известна только для $H_1=0$ (Беша – Хефлигер – Хадсон 1970). Приводимая классификация использует инвариант $\varkappa(f)\in H_2$ Беша – Хефлигера, билинейную форму $\lambda(f)\colon H_3\times H_3\to\mathbb{Z}$ Зейферта и $\beta$-инвариант, принимающий значения в факторе группы $H_1$, определенном значениями $\varkappa(f)$ и $\lambda(f)$. В частности, для $N=S^1\times S^3$ мы геометрически строим взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности вложений и явно определенным фактормножеством множества $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$. Доказательство основано на развитии модифицированной теории хирургии Крека, включающем некоторые элементарные переформулировки, а также использует параметрическую связную сумму.