Asymptotic mapping class groups of closed surfaces punctured along Cantor sets

Мы определяем подгруппы $\mathcal B_g< \mathcal H_g$ в группе $\operatorname{Mod}(\Sigma_g)$  — группе классов отображений замкнутой поверхности рода $g\ge0$, из которой удалено канторово множество; эти подгруппы являются расширениями группы Томпсона $V$ с помощью прямого предела групп отображений компактных поверхностей рода $g$. Мы показываем, что группы $\mathcal B_g$ и $\mathcal H_g$ конечно представлены и что $\mathcal H_g$ плотна в $\operatorname{Mod}(\Sigma_g)$. Затем, пользуясь связью с группой Томпсона, мы изучаем свойства групп $\mathcal B_g$ и $\mathcal H_g$, аналогичные известным фактам про группы классов отображений конечного типа. Например, гомологии этих групп совпадают со стабильными гомологиями группы классов отображений рода $g$, все их автоморфизмы являются геометрическими, а у всякого гомоморфизма из решетки более высокого ранга образ конечен. Кроме того, с помощью той же связи с группами Томпсона устанавливается, что группы $\mathcal B_g$ и $\mathcal H_g$ не являются линейными и не обладают свойством (T) Каждана, в отличие от того, что на данный момент известно о группах классов отображений конечного типа.