Hugo Duminil-Copin, Vincent Tassion, “Renormalization of crossing probabilities in the planar random-cluster model”, Mosc. Math. J., 20:4 (2020), 711

Аннотация: Исследование вероятностей пересечения (т. е. вероятностей существования путей, пересекающих прямоугольники) было центральной задачей двумерной теории перколяции с самого ее возникновения. Зная вероятности пересечения, можно получить много информации о модели, включая скорость перемешивания, «хвосты» убывания для вероятностей связности, соотношения масштабирования и т. д. В этой статье мы развиваем ренормализационную схему для вероятностей пересечения в двумерных моделях случайных кластеров. Получено точное описание следующей альтернативами между четырьмя типами поведения.

Субкритическое. Вероятности пересечения, даже при благоприятных граничных условиях, экспоненциально стремятся к нулю.
Суперкритическое. Вероятности пересечения, даже при неблагоприятных граничных условиях, экспоненциально стремятся к единице.
Критическое разрывное. Вероятности пересечения экспоненциально стремятся к нулю при неблагоприятных граничных условиях и экспоненциально стремятся к единице при благоприятных граничных условиях.
Критическое непрерывное. Вероятности пересечения остаются отграниченными от нуля и единицы, равномерно по граничным условиям.

Наш подход не опирается на самодвойственность, что позволяет применять его в значительно большей общности, включая модель случайных кластеров на произвольных достаточно симметричных графах, а также и другие модели, например, некоторые модели случайной высоты.