The asymptotic behaviour of the sequence of solutions for a family of equations involving $p(\cdot)$-Laplace operators

Пусть $\Omega\subset\mathbb R^N$ — ограниченная область с гладкой границей, а $p\colon \overline\Omega\rightarrow(1,\infty)$ — непрерывная функция. Мы устанавливаем существование положительного действительного числа $\lambda^\star$, обладающего тем свойством, что для всякого $\lambda\in(0,\lambda^\star)$ и всякого целого $n>N$ уравнение $-\mathrm{div}(|\nabla u(x)|^{np(x)-2}\nabla u(x))=\lambda e^{u(x)}$, где на $x\in\Omega$ наложено однородное граничное условие Дирихле, имеет неотрицательное решение $u_n$. Мы показываем, что последовательность $\{u_n\}$ при $n\rightarrow\infty$ равномерно сходится к функции «расстояние до границы области $\Omega$».