A generalization of the Fejér–Jackson inequality and related results

Мы приводим несколько фактов о тригонометрических суммах, связанных с классическим неравенством Джексона–Фейера
$$ 0<\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k} {(n\geq 1, 0<x<\pi)}. $$
Именно, мы доказываем следующее.
1) Пусть $r\in \mathbb{R}$. Тогда неравенство $ 0<\sum\limits_{\substack{k=1 \\ k \text{ нечетно}}}^n \frac{\sin(kx)}{k} r^k $ выполнено при всех $n\geq 1$ и $x\in (0,\pi)$ в том и только том случае, когда $r\in (0,1]$.
2) Пусть $a\in\mathbb{R}$. Тогда неравенство $ 0<\sum\limits_{k=0}^{n-1} \cos(kx) \Bigl( \sum\limits_{j=k+1}^n {j\choose k} \frac{\sin((j-k)x)}{j} a^j \Bigr) $ выполнено при всех $n\geq 1$ и $x\in (0,\pi)$ в том и только том случае, когда $a\in (0,1/2]$ (при $ a=1/2 $ этот результат сводится к неравенству Фейера–Джексона).
3) Пусть $b\in \mathbb{R}$. Тогда неравенство $ 0< \sum\limits_{k=0}^{n-1} \cos(kx) \Bigl( \sum\limits_{\substack{j=k+1 \\ {\text{$j$ нечетно}}}}^n {j\choose k} \frac{\sin((j-k)x)}{j} b^j \Bigr)$ выполняется для всех $n\geq 1$ и $x\in (0,\pi)$ в том и только том случае, когда $b\in (0,1/2]$. Этот результат останется верным, если «нечетно» заменить на «четно», а $(0,\pi ) $ на $ (0,\frac{\pi }{2} ) $.