A new family of elliptic curves with unbounded rank

Пусть $\mathbb F_q$ — конечное поле нечетной характеристики и $K= \mathbb{F}_q(t)$. Для всякого целого $d\geqslant 1$ рассмотрим эллиптическую кривую $E_d$ над $K$, заданную уравнением $y^2=x\cdot\big(x^2+t^{2d}\cdot x-4t^{2d}\big)$. Мы доказываем, что ранги групп Морделла–Вейля $E_d(K)$ при всевозможных $d$ не ограничены. Для кривых $E_d$ выполнена гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера, так что указанный ранг равен порядку нуля $L$-функции кривой в центральной точке. Мы приводим явное выражение для $L$-функции кривой $E_d$ и изучаем с его помощью зависимость от $d$ порядка этого нуля.