Homogeneous symplectic $4$-manifolds and finite dimensional Lie algebras of symplectic vector fields on the symplectic $4$-space

Мы классифицируем подалгебры конечного типа $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{sp}(V)$ (в смысле теории продолжений Э. Картана) симплектической алгебры $\mathfrak{sp}(V)$ четырехмерного симплектического пространства $V$ и показываем, что все они имеют тривиальное первое продолжение $\mathfrak{h}^{(1)}=0$. Используя этот результат, мы сводим проблему классификации градуированных транзитивных конечномерных алгебр Ли симплектических векторных полей в $V$ к описанию градуированных транзитивных конечномерных подалгебр полных продолжений $\mathfrak{p}^{(\infty)}_1$ и $\mathfrak{p}^{(\infty)}_2$ максимальных параболических подалгебр $\mathfrak{p}_1$ и $\mathfrak{p}_2$ алгебры Ли $\mathfrak{sp}(V)$. При некоторых дополнительных предположениях мы классифицируем такие подалгебры и описываем соответствующие однородные симплектические 4-многообразия $(M = G/K, \omega)$. Мы показываем, что редуктивное однородное симплектическое многообразие (любой размерности) допускает инвариантную симплектическую связность без кручения, т. е. является однородным многообразием Федосова, и приводим условия единственности такой связности. Наконец, доказано, что любая нильпотентная симплектическая группа Ли любой размерности допускает естественную инвариантную связность Федосова, которая при этом является Риччи-плоской.