On monodromy in families of elliptic curves over $\mathbb{C}$

Мы показываем, что если в гладком неизотривиальном семействе кривых рода $1$ (над $\mathbb C$) с гладкой базой $B$ общий слой отображения $J\colon B\to\mathbb A^1$ (точке сопоставляется $j$-инвариант слоя) является связным, то группа монодромии этого семейства (действующая на $H^1(\cdot,\mathbb Z)$ слоя) совпадает с $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$; если общий слой отображения $J$ состоит из $m\geqslant2$ компонент связности, то индекс группы мнонодромии в $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$ не превосходит $2m$. Это контрастирует с ситуацией для семейств гиперэллиптических кривых рода $g\geqslant 3$: в этом случае группа монодромии любого семейства строго меньше, чем $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb Z)$. Приведены некоторые приложения, в частности, к монодромии гиперплоских сечений поверхностей Дель Пеццо.