Toric topology of the complex Grassmann manifolds

Семейство комплексных многообразий Грассмана $G_{n,k}$ с каноническим действием компактного тора $T^n=\mathbb{T}^{n}$ и аналог отображения моментов $\mu \colon G_{n,k}\to \Delta _{n,k}$ для гиперсимплекса $\Delta _{n,k}$ хорошо известны. В этой статье мы изучаем структуру пространства орбит $G_{n,k}/T^n$, развивая методы торической геометрии и торической топологии. Мы используем разбиение многобразия $G_{n,k}$ на страты $W_{\sigma}$. Опираясь на это разбиение, мы находим все регулярные и особые точки отображения моментов $\mu$ и вводим понятия допустимых многогранников $P_\sigma$ таких, что $\mu (W_{\sigma}) \to \mathring P_{\sigma}$, и пространств параметров $F_{\sigma}$, которые вместе описывают пространство $W_{\sigma}/T^{n}$ как произведение $\mathring P_{\sigma} \times F_{\sigma}$. Для того, чтобы найти подходящую топологию пространства $\bigcup _{\sigma} (\mathring P_{\sigma}\times F_{\sigma})$, мы вводим также универсальное пространство параметров $\widetilde{\mathcal{F}}$ и виртуальные пространства параметров $\widetilde{F}_{\sigma}\subset \widetilde{\mathcal{F}}$ такие, что существуют проекции $\widetilde{F}_{\sigma}\to F_{\sigma}$. В терминах этих понятий мы предлагаем метод описания пространства орбит $G_{n,k}/T^n$. Существование действия симметрической группы $S_{n}$ на $G_{n,k}$ позволило упростить подход к реализации этого метода. В нашей предыдущей статье мы доказали, что пространство орбит $G_{4,2}/T^4$, которое определяется эффективным $T^3$-действием сложности $1$, гомеоморфно пространству $\partial \Delta _{4,2}\ast \mathbb{C}P^1$. В этой статье мы получаем явное описание пространства орбит $G_{5,2}/T^5$, которое определяется эффективным $T^4$-действием сложности $2$, и доказываем, что оно гомотопически эквивалентно прострранству, получаемому приклеиванием диска $D^8$ к пространству $\Sigma ^{4}\mathbb{R} P^2$ по образующей группы $\pi _{7}(\Sigma ^{4}\mathbb{R} P^2)=\mathbb{Z} _{4}$. В частности, $(G_{5,2}/G_{4,2})/T^5$ гомотопически эквивалентно $\partial \Delta _{5,2}\ast \mathbb{C} P^2$. Методы и результаты этой статьи являются ключевыми для построения предложенной нами теории $(2l,q)$-многообразий $M^{2l}$ с эффективным действием тора $T^{q}$, $q\leq l$, и аналогом отображения моментов $\mu \colon M^{2l}\to P^{q}$, где $P^{q}$ — $q$-мерный выпуклый многогранник.