Интегрируемость в конечном виде и действия групп Ли

Согласно теореме Лиувилля, неопределенный интеграл элементарной функции, как правило, не является элементарной функцией. В настоящей статье приводится точная формулировка и доказательство этой теоремы. Дифференциальная группа Галуа расширения, полученного присоединением интеграла, не позволяет определить, берется этот интеграл в элементарных функциях или нет. Тем не менее теорему Лиувилля можно доказать, используя дифференциальные группы Галуа. Первый шаг в этом направлении был сделан Абелем. Этот шаг связан с алгебраическими расширениями и их конечными группами Галуа. Значительная часть статьи посвящена следующему шагу, связанному с чисто трансцендентными расширениями и их дифференциальными группами Галуа, которые представляют собой связные алгебраические группы Ли. Идея доказательства восходит к Ж. Лиувиллю и к Дж. Ф. Ритту.