Instability, asymptotic trajectories and dimension of the phase space

Предположим, что начало координат $x=0$ является неустойчивым по Ляпунову положением равновесия для потока в ${\mathbb R}^n$. Верно ли, что всегда существует решение $t\mapsto x(t)$, $x(t)\ne 0$, асимптотическое к равновесию: $x(t)\to 0$ при $t\to -\infty$? Ответ на этот и подобные вопросы зависит от различных деталей, включая четность $n$ и класс гладкости системы. Мы даем частичные ответы на эти вопросы и формулируем ряд гипотез.