Iterating evolutes of spacial polygons and of spacial curves

Эволюта гладкой кривой в $m$-мерном пространстве – это геометрическое место центров ее оскулирующих сфер, а эволюта пространственного многоугольника – это многоугольник, образованный центрами сфер, проходящих через последовательные наборы из $m+1$ вершин многоугольника. Мы изучаем итерации этих эволютивных отображений. Наша работа продолжает исследование аналогичных вопросов в размерности два. Приведем несколько наших результатов. Множество $n$-угольников с фиксированными направлениями сторон, рассматриваемых с точностью до параллельных переносов, образует $(n-m)$-мерное пространство, а отображение второй эволюты – это его линейное преобразование. Если $n=m+2$, то вторая эволюта гомотетична исходному многоугольнику, а если $n=m+3$, то гомотетичны первая и третья эволюты. В общем положении ненулевые собственные значения отображения второй эволюты имеют четную кратность. Мы также изучаем кривые в трехмерном пространстве, возможно с каспами, и их эволюты. Мы представляем непрерывные аналоги результатов, полученных для многоугольников, и описываем кривые, гомотетичные своим вторым эволютам; эти кривые – пространственные аналоги классических гипоциклоид.