Étale cohomology, Lefschetz theorems and number of points of singular varieties over finite fields

Мы доказываем общее неравенство, оценивающее число точек на произвольном полном пересечении над конечным полем. Оно обобщает результат Делиня для неособых полных пересечений и классическое неравенство Ленга–Вейля для нормальных полных пресечений. Мы доказываем неравенство Ленга–Вейля не только для проективных, но и для аффинных многообразий, явно оценивая появляющуюся в нем константу. Мы доказываем также гипотезу Ленга–Вейля о многообразиях Пикара и пространствах этальных когомологий проективных многообразий. Общее неравенство для полных пересечений можно рассматривать как уточненный вариант оценок Хули–Катца. Доказательство основано, главным образом, на подходящем обобщении слабой теоремы Лефшеца на особые многообразия, плюс на рассуждениях типа Бертини и формуле следа Гротендика–Лефшеца. Еще мы доказываем ряд дополнительных результатов об этальных когомологиях и числах Бетти проективных многообразий над конечными полями, и приводим гипотезу и некоторые частные результаты касающиеся числа точек на проективных алгебраических множествах.