Filling gaps of the symmetric crosscap spectrum

Всякая конечная группа $G$ эффективно действует на некоторой неориентируемой поверхности без края. Наименьший возможный топологический род такой поверхности называется симметрическим кросскэп-числом группы $G$. Известно, что $3$ не является симметрическим кросскэп-числом ни для какой группы, однако неизвестно, существуют ли другие числа с таким свойством (они называются пробелами в симметрическом кросскэп-спектре).
В этой статье мы получаем условия, выполнение которых необходимо, чтобы данное число было таким пробелом. Из этих условий вытекает, что если $n$ – пробел, то $n\ge699$, и что не более восьми чисел, меньших 2000, могут быть пробелами.