Remarks on Mukai threefolds admitting $\mathbb C^*$ action

Мы исследуем геометрические свойства однопараметрического семейства трехмерных многообразий Фано $V_{12}^m$ рода $12$ с рангом группы Пикара, равным единице, допускающих действие $\mathbb C^*$. В частности, мы улучшаем для них оценку log-канонического порога. Мы показываем, что всякое многообразие из этого семейства обладает дополнительной симметрией, антикоммутирующей с действием $\mathbb C^*$; для малых деформаций многообразия Мукаи–Умемуры этот факт был найден Ролленом, Симанкой и Типлером. В качестве следствия получается, что многообразия Кэлера–Эйнштейна в этом классе образуют открытое подмножество относительно стандартной топологии. Далее, мы явно описываем трехмерные многообразия Фано рода $12$ с числом Пикара $1$ через квартики, связанные с конструкцией многообразия сумм степеней. Мы явно описываем схемы Гильберта прямых на таких многообразиях.