Automorphisms of non-cyclic $p$-gonal Riemann surfaces

В этой статье мы доказываем, что порядок голоморфного автоморфизма нециклической $p$-гональной римановой поверхности $S$ рода $g>(p-1)^2$ не превосходит $2(g+p-1)$ и что для бесконечно большого количества значений $g$ эта верхняя граница достигается. Это обобщает аналогичный результат для $p=3$, полученный недавно Костой и Искьердо. Более того, мы показываем, что полная группа голоморфных автоморфизмов для $S$ либо тривиальна, либо является конечной циклической или диэдральной группой, либо изоморфна одной из групп правильных многогранников $\mathcal A_4$, $\mathcal A_5$ или $\Sigma_4$; приведены примеры, показывающие, что все эти возможности реализуются. Если у $S$ есть голоморфный автоморфизм порядка $2(g+p-1)$, то он порождает всю группу автоморфизмов и всякое $p$-гональное отображение поверхности $S$ имеет простое ветвление.
Наконец, мы показываем, что всякая пара $(S,\pi)$, где $S$ – нециклическая $p$-гональная риманова поверхность, а $\pi$ – $p$-гональное отображение, определена над своим полем модулей. Если группа автоморфизмов поверхности $S$ не является нетривиальной циклической группой, а $g>(p-1)^2$, то $S$ также определена над своим полем модулей.