From semi-orthogonal decompositions to polarized intermediate Jacobians via Jacobians of noncommutative motives

Пусть $X$ и $Y$ – гладкие комплексные проективные многообразия, а $\mathcal D^b(X)$ и $\mathcal D^b(Y)$ – соответствующие производные категории когерентных пучков. Предположим, что существует триангулированная категория $\mathcal T$, допустимая и в $\mathcal D^b(X)$, и в $\mathcal D^b(Y)$. Пользуясь новой теорией якобианов некоммутативных мотивов, мы по этим категорным данным конструируем морфизм $\tau$ абелевых многообразий (с точностью до изогении) из произведения алгебраических промежуточных якобианов для $X$ в произведение промежуточных алгебраических якобианов для $Y$. Наша конструкция является условной: она зависит от гипотезы Кузнецова о функторах типа Фурье–Мукаи и от одной гипотезы о пересечениях (вытекающей из гротендиковской стандартной гипотезы “типа Лефшеца”). Мы описываем некоторые примеры, в которых эти гипотезы выполняются, а также несколько условных примеров. Если ортогональное дополнение $\mathcal T^\perp$ в $\mathcal D^b(X)$ имеет тривиальный якобиан (например, это так, если категория $\mathcal T^\perp$ порождена исключительными объектами), то морфизм $\tau$ инъективен и расщепляется. Если то же условие выполнено для ортогонального дополнения $\mathcal T$ в $\mathcal D^b(Y)$, то $\tau$ является изоморфизмом. Далее, для случая, когда у $X$ и у $Y$ имеется единственный главнополяризованный промежуточный якобиан, мы доказываем, что $\tau$ сохраняет главную поляризацию.
В качестве приложения мы получаем категорные теоремы Торелли, несовместимость двух гипотез Кузнецова (про функторы типа Фурье–Мукаи и про трехмерные многообразия Фано), а также несколько новых результатов о расслоениях на квадрики и о пересечениях квадрик.