Very simple 2-adic representations and hyperelliptic Jacobians

Пусть $K$ поле нулевой характеристики, $n\ge 5$ целое число, $f(x)$ неприводимый над $K$ многочлен степени $n$, группа Галуа которого совпадает либо с полной симметрической группой $\mathrm{S}_n$, либо со знакопеременной группой $\mathrm{A}_n$. Пусть $C\colon y^2=f(x)$ соответствующая гиперэллиптическая кривая, и $X=J(C)$ ее якобиан, определенный над $K$. Для любого простого числа $\ell$ мы обозначаем через $V_{\ell}(X)$ соответствующий $\mathbf{Q}_{\ell}$-модуль Тэйта абелева многообразия $X$, а через $e_{\lambda}$ форму Римана на $V_{\ell}(X)$, отвечающую тэта-дивизору. Пусть $\mathfrak{sp}(V_{\ell}(X), e_{\lambda})$ – $\mathbf{Q}_{\ell}$-алгебра Ли симплектической группы, отвечающей кососимметрической форме $e_{\lambda}$. Пусть $\mathfrak{g}_{\ell,X}$ – $\mathbf{Q}_{\ell}$-алгебра Ли образа группы Галуа $\mathrm{Gal}(K)$ поля $K$ в $\mathrm{Aut}(V_{\ell}(X))$. Предполагая, что поле $K$ конечно порождено над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$, мы доказываем, что $\mathfrak{g}_{\ell,X}={\mathbf{Q}_{\ell}\operatorname{Id}}\oplus\mathfrak{sp}(V_{\ell}(X), e_{\lambda})$, где $\mathrm{Id}$ тождественный оператор.