Geometric adeles and the Riemann–Roch theorem for $1$-cycles on surfaces

Классическая теорема Римана–Роха для проективных неприводимых кривых над совершенными полями может быть красиво доказана с использованием аделей и их топологической самодуальности. Такие доказательства были известны уже Э. Артину и К. Ивасаве, они могут рассматриваться как связь между адельной геометрией и алгебраической геометрией в размерности один. В этой статье мы изучаем геометрические адельные обьекты, наделенные подходящей топологией, на алгебраических гладких собственных неприводимых поверхностях над совершенными полями. Доказывается ряд новых результатов об адельных обьектах, включая топологическую самодуальность и дискретность функций на поверхности. На основе этих результатов мы получаем прямое короткое доказательство конечной размерности адельных групп когомологий без использования когомологий Зарисского. Используя адельную эйлерову характеристику мы выводим аддитивное адельное описание индекса пересечения кривых на поверхностях. Получено прямое и относительно короткое доказательство адельной теоремы Римана–Роха. Известная связь между адельными когомологиями и когомологиями Зарисского влечет доказательство теоремы Римана–Роха для поверхностей.