Counting elliptic surfaces over finite fields

Вычисляется число классов изоморфизма эллиптических кривых данной высоты $d$ над полем рациональных функций от одной переменной над конечным полем из $q$ элементов. Мы также оцениваем число классов изоморфизма эллиптических поверхностей над проективной прямой, обладающих поляризацией относительной степени 3. Это приводит к верхней оценке на среднестатистический ранг 3-группы Зельмера этих кривых. Наконец, мы выводим новую верхнюю оценку на средний ранг эллиптических кривых в пределе при большом $d$; средний ранг оказывается асимптотически ограничен сверху $1.5+O(1/q)$.