On rational functions orthogonal to all powers of a given rational function on a curve

В этой статье мы изучаем производящую функцию $f(t)$ для последовательности моментов $\int_\gamma P^i(z)q(z)\,dz$, $i\geq0$, где $P(z),q(z)$ – рациональные функции одной комплексной переменной и $\gamma$ – кривая в $\mathbb C$. Мы вычисляем аналитическое выражение для $f(t)$ и описываем условия при которых $f(t)$ рациональна или тождественно равна нулю. В частности, для $P(z)$ в общем положении, мы даем необходимые и достаточные условия, при которых рациональная функция $q(z)$ ортогональна всем степеням $P(z)$ на $\gamma$. В качестве приложения, мы усиливаем теорему Вермера, описывающую аналитические функции удовлетворяющие системе уравнений $\int_{S^1}h^i(z)g^j(z)g'(z)\,dz=0$, $i\geq0$, $j\geq0$, в случае когда функции $h(z),g(z)$ рациональны. Мы также обобщаем теорему Дюйстермаата и Ван дер Каллена о полиномах Лорана $L(z)$, чьи целые положительные степени не имеют постоянного члена, и доказываем другие результатаы о полиномах Лорана $L(z),m(z)$, удовлетворяющих системе уравнений $\int_{S^1}L^i(z)m(z)\,dz=0$, $i\geq i_0$.