Inductive solution of the tangential center problem on zero-cycles

Пусть $f\in\mathbb C[z]$ – многочлен степени $m$, и пусть $z_1(t),\dots,z_m(t)$ – алгебраические функции, удовлетворяющие уравнению $f(z_k(t))=t$. Если $n_1,\dots,n_m$ – целые числа, удовлетворяющие условию $n_1+\dots+n_m=0$, то касательная центральная проблема нуль-циклов состоит в нахождении всех многочленов $g\in\mathbb C[z]$, для которых $n_1g(z_1(t))+\dots+n_mg(z_m(t))\equiv0$. К этой задаче приводит классическая проблема “центр-фокус”, а точнее говоря, ее инфинитезимальная версия для нетривиальных плоских систем.
Касательная центральная проблема нуль-циклов была недавно решена в препринте Гаврилова и Паковича.
В этой статье мы приводим альтернативное решение для общего $f$, основанное на индукции по длине разложения $f=f_1\circ\dots\circ f_d$, в котором каждый $f_k$ является $2$-транзитивным, чебышевским или мономом (и в котором не происходит слияния критических значений).
При индукции исподльзуются три механизма: композициая, примарность и обращение в нуль компоненты Ньютона–Жирара спроекцтированных циклов.