Notes on the quantum tetrahedron

Мы описываем пространство путей на диаграммах Дынкина типа A, D, E, уделяя особое внимание графу $E_6$. Многие результаты А. Окнеану излагаются здесь в совсем элементраных терминах (манипуляции с квадратными или прямоугольными матрицами). Мы напоминаем понятие существенной матрицы графа и описываем её модулярные свойства по отношению к правым и левым действиям “fusion”-алгебр. В случае графа $E_6$ существенные матрицы задают правый модуль по отношению к собственной “fusion”-алгебре, но левый — по отношению к “fusion”-алгебре $A_{11}$. Работа содержит два новых результата. 1) Мы показываем, как восстановить граф Окнеану квантовых симметрий диаграммы $E_6$ по естественному умножению в тензорном квадрате его “fusion”-алгебры (квадрат следует брать над некоторой специальной подалгеброй); это — граф Кэли двух образующих двенадцатимерной алгебры $E_6\otimes_{A_3}E_6$ (где $A_3$ и $E_6$ относятся к коммутативным “fusion”-алгебрам соответствующих графов). 2) С каждой точкой графа квантовых симметрий ассоциируется специальная матрица, описывающая “торическую структуру” диаграммы Дынкина; следуя Окнеану, в случае $E_6$ мы получаем двенадцать таких матриц размера $11\times 11$, одна из является модулярным инвариантом и входит в выражение для статистической суммы соответствующей конформной теории поля. Наш следующий вклад — простой алгоритм построения этих матриц.