Tropical varieties with polynomial weights and corner loci of piecewise polynomials

Мы находим связь между смешанными объемами нескольких многогранников и выпуклой оболочки их объединения, выводя ее из следующего факта: смешанный объем набора многогранников зависит только от произведения их опорных функций (а не от отдельных опорных функций). Для целочисленных многогранников эта зависимость – частный случай изоморфизма между двумя известными комбинаторными моделями когомологий торических многообразий, но эта конструкция до сих пор не была обобщена на произвольные многогранники (отчасти из-за нехватки комбинаторных средств, которые могли бы заменить торическую геометрию, когда вершины не рациональны). Мы строим такое обобщение, дающее явную формулу для смешанного объема в терминах произведения опорных функций и, возможно, также представляющее интерес в связи с комбинаторными средствами (тропическими многообразиями с полиномиальными весами и их изломами), возникающими в нашей конструкции. В качестве другого примера возможного применения этих новых объектов мы замечаем, что каждое подмногообразие гладкого тропического многообразия $M$ может быть локально представленно как пересечение $M$ с другим тропическим многообразием (возможно, с отрицательными весами), и формулируем гипотезы о возможных обобщениях этого факта на случай, когда $M$ имеет особенности. Упомянутый факт о подмногообразиях гладких тропических многообразий может представлять самостоятельный интерес, так как означает, что теория пересечений на гладких тропических многообразиях, недавно построенная Аллерманом, Франсуа, Рау и Шау, локально индуцируется из объемлющего векторного пространства.