Toric Poisson structures

Пусть$T_\mathbb C$ – ком­плекс­ный ал­геб­ра­и­че­ский тор, и пусть $X(\Sigma)$ – пол­ное неосо­бое то­ри­че­ское мно­го­об­ра­зие, по­пол­ня­ю­щее $T_\mathbb C$. В ста­тье стро­ит­ся $T_\mathbb C$-ин­ва­ри­ант­ная пуас­со­но­ва струк­ту­ра $\Pi_\Sigma$ на ком­плекс­ном мно­го­об­ра­зии $X(\Sigma)$; сим­плек­ти­че­ские ли­сты этой струк­ту­ры суть $T_\mathbb C$-ор­би­ты на $X(\Sigma)$. По­ка­за­но, что на каж­дом ли­сте име­ет­ся эф­фек­тив­ное га­миль­то­но­во дей­ствие под­то­ра ком­пакт­но­го то­ра $T\subset T_\mathbb C$; од­на­ко же гло­баль­ное дей­ствие $T_\mathbb C$ на $(X(\Sigma),\Pi_\Sigma)$ яв­ля­ет­ся пуас­со­но­вым, но не га­миль­то­но­вым. Ос­нов­ной ре­зуль­тат ста­тьи – ниж­няя оцен­ка на пер­вые пуас­со­но­вы ко­го­мо­ло­гии этих струк­тур. В про­стей­шем слу­чае $X(\Sigma)=\mathbb C\mathrm P^1$ пуас­со­но­вы ко­го­мо­ло­гии счи­та­ют­ся с по­мо­щью рас­суж­де­ний Май­ер–Ви­е­то­ри­сов­ско­го ти­па и из­вест­ных ре­зуль­та­тов о плос­ких квад­ра­тич­ных пуас­со­но­вых струк­ту­рах. Для это­го слу­чая оцен­ка яв­ля­ет­ся оп­ти­маль­ной. В кон­це ста­тьи ис­сле­ду­ет­ся вза­и­мо­дей­ствие $\Pi_\Sigma$ с сим­плек­ти­че­ской струк­ту­рой на $\mathbb C\mathrm P^n$, ко­гда мо­ду­ляр­ное век­тор­ное по­ле от­но­си­тель­но неко­то­рой ли­увил­ле­вой фор­мы Дель­за­на вы­ра­жа­ет­ся за­бав­ной фор­му­лой че­рез дель­за­нов­ские дан­ные мо­мен­та. Эта фор­му­ла поз­во­ля­ет най­ти мно­же­ство ну­лей та­ко­го мо­ду­ляр­но­го век­тор­но­го по­ля и свя­зать его с ев­кли­до­вой гео­мет­ри­ей сим­плек­са мо­мен­тов.