On $\log L$ and $L'/L$ for $L$-functions and the associated "$M$-functions": Connections in optimal cases

Пусть $\mathcal L(s,\chi)$ – либо $\log L(s,\chi)$, либо $L'/L(s,\chi)$, где $L(s,\chi)$ – некоторая абелева $L$-функция глобального поля $K$. Для всякого квазихарактера $\psi\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times$ аддитивной группы комплексных чисел рассмотрим “усреднение” $\mathrm{Avg}_{\mathfrak f_\chi=\mathfrak f}$ значений $\psi(\mathcal L(s,\chi))$ по всем характерам Дирихле $\chi$ с данным простым кондуктором $\mathfrak f$. В статье изучается: (1) предел этого усреднения при $N(\mathfrak f)\to\infty$; (2) основные свойства аналитической функции $\tilde M_s(z_1,z_2)$ трех комплексных переменных, связанной с вышеуказанным предельным переходом (здесь $(z_1,z_2)\in\mathbb C^2$ – естественный параметр для $\psi$); (3) приложения к теории распределения значений $\{\mathcal L(s,\chi)\}_\chi$. Про поле $K$ предполагается, что это либо функциональное поле над конечным полем, либо поле рациональных чисел, либо вещественное квадратичное поле. В числовом случае результаты, относящиеся к вопросам (1) и (2), зависят от обобщенной гипотезы Римана.