Nombres de Bernoulli et une formule de Schlömilch–Ramanujan

Мы об­суж­да­ем неко­то­рые фор­му­лы, в ко­то­рых участ­ву­ют чис­ла Бер­нул­ли. В пер­вой ча­сти ста­тьи вы­яс­ня­ет­ся тес­ная связь меж­ду фор­му­лой Эй­ле­ра–Ма­кло­ре­на и функ­ци­о­наль­ным урав­не­ни­ем Ро­та–Бак­с­те­ра. Во вто­рой ча­сти да­ет­ся про­стое до­ка­за­тель­ство фор­му­лы Шле­миль­ха–Ра­ма­нуд­жа­на для сум­ми­ро­ва­ния неко­то­ро­го се­мей­ство экс­по­нен­ци­аль­ных ря­дов, па­ра­мет­ри­зо­ван­но­го нечет­ным па­ра­мет­ром $l$. Уди­ви­тель­ным об­ра­зом ока­зы­ва­ет­ся, что при $l>1$ для этих ря­дов ап­прок­си­ма­ци­он­ная фор­му­ла Эй­ле­ра–Ма­кло­ре­на для ин­те­гра­ла да­ет точ­ный от­вет.