Localization and Perron–Frobenius theory for directed polymers

Мы рас­смат­ри­ва­ем на­прав­лен­ные по­ли­ме­ры в слу­чай­ном по­тен­ци­а­ле, за­дан­ном де­тер­ми­ни­ро­ван­ным про­фи­лем с силь­ным мак­си­му­мом в ну­ле и бе­ру­щем­ся со слу­чай­ным зна­ком в каж­дый це­ло­чис­лен­ный мо­мент вре­ме­ни. Мы изу­ча­ем два ос­нов­ных объ­ек­та, свя­зан­ных с пу­тя­ми в слу­чай­ном по­тен­ци­а­ле. Во-пер­вых, с по­мо­щью усред­не­ния по пу­тям мы вво­дим па­ра­бо­ли­че­скую мо­дель че­рез слу­чай­ный опе­ра­тор Фей­н­ма­на–Ка­ца и по­ка­зы­ва­ем, что для по­лу­ча­ю­ще­го­ся ко­цик­ла су­ще­ству­ет един­ствен­ная по­ло­жи­тель­ная соб­ствен­ная функ­ция, яв­ля­ю­ща­я­ся од­но­то­чеч­ным ат­трак­то­ром. Во-вто­рых, с по­мо­щью по­тен­ци­а­ла мы стан­дарт­ным об­ра­зом вво­дим гибб­сов­скую спе­ци­фи­ка­цию на ко­неч­ных пу­тях и изу­ча­ем тер­мо­ди­на­ми­че­ский пре­дел для этой си­сте­мы, а так­же су­ще­ство­ва­ние и един­ствен­ность ме­ры Гибб­са в бес­ко­неч­ном объ­ё­ме. В обо­их глав­ных ре­зуль­та­тах утвер­жда­ет­ся, что ло­каль­ная струк­ту­ра вза­и­мо­дей­ствий при­во­дит к един­ствен­но­му мак­ро­ско­пи­че­ско­му объ­ек­ту для по­чти всех ре­а­ли­за­ций слу­чай­но­го по­тен­ци­а­ла.