Properties of weight posets for weight multiplicity free representations

Рассматриваются представления редуктивных алгебр Ли с одномерными весовыми подпространствами и соответствующие частично упорядоченные множества весов. Более конкретно, мы интересуемся связью между $\dim\mathcal R$ и числом ребер $\#\mathcal E(\mathcal R)$ диаграммы Хассе частично упорядоченного множества весов. Для всех представлений с однократными весами мы находим число ребер и верхний накрывающий полином частично упорядоченного множества весов. Указаны также нетривиальные изоморфизмы между частично упорядоченными множествами весов различных представлений.
Основной результат относится к представлениям с однократными весами, ассоциированными с периодическими или $\mathbb Z$-градуировками простых алгебр Ли. Для $\mathbb Z$-градуировок мы доказываем, что $0<2\dim\mathcal R-\#\mathcal E(\mathcal R)<h$, где $h$ – число Кокстера алгебры $\mathfrak g$. Для периодических градуировок мы доказываем, что $0\le2\dim\mathcal R-\#\mathcal E(\mathcal R)$.