Sur la fonctorialité, pour $\mathrm{GL}(4)$, donnée par le carré extérieur

Пусть $k$ – числовое поле. Ким построил функтор внешнего квадрата, который каспидальному автоморфному представлению $\rho$ группы $\mathrm{GL}(4,\mathbb A_k)$ ставит в соответствие автоморфное представление $\Pi$ группы $\mathrm{GL}(6,\mathbb A_k)$. Если $v$ – конечная точка поля $k$, то локальная компонента $\rho_v$ представления $\rho$ индуцирует, с помощью соответствия Ленглендса, представление $\sigma_v$, являющееся представлением степени 4 группы Вейля–Делиня поля $k_v$. Представление $\Pi$ является единственным изобарическим автоморфным представлением группы $\mathrm{GL}(6,\mathbb A_k)$, обладающим тем свойством, что для каждой конечной точки $v$, в которой $\rho_v$ неразветвлено, компонента $\Pi_v$ соответствует внешнему квадрату $\Lambda^2\sigma_v$ представления $\sigma_v$ по Ленглендсу. Ким также показал, что $\Pi_v$ соответствует $\Lambda^2\sigma_v$, даже если $\rho_v$ разветвлено, кроме, возможно, случая, когда $\rho_v$ каспидально и характеристика поля вычетов для $v$ равна 2 или 3. Мы усиливаем результат Кима: оказывается, что $\Pi_v$ соответствует $\Lambda^2\sigma_v$ для произвольной конечной точки $v$.