Primitive ideals, non-restricted representations and finite $W$-algebras

Пусть $G$ – простая алгебраическая группа над $\mathbb C$ и $\mathfrak g={\rm Lie}G$. Пусть $(e,h,f)$ – $\mathfrak{sl}_2$-тройка в $\mathfrak g$ и $(\cdot,\cdot)$ – инвариантная билинейная форма на $\mathfrak g$, удовлетворяющая условию $(e,f)=1$. Пусть $H_\chi$ – квантование слайса Слодови $e+{\rm Ker\,ad}f$, где $\chi=(e,\cdot)\in\mathfrak g^*$. Пусть $\mathcal I$ – примитивный идеал универсальной обертывающей алгебры $U(\mathfrak g)$, ассоциированное многообразие которого совпадает с замыканием коприсоединенной орбиты линейной функции $\chi$. В работе доказано, что если $\mathcal I$ имеет рациональный центральный характер, то найдется такой конечномерный неприводимый $H_{\chi}$-модуль$V$, что $\mathcal I={\rm Ann}_{U(\mathfrak g)}(Q_{\chi}\otimes_{H_{\chi}}V)$, где $Q_\chi$ – обобщенный модуль Гельфанда–Граева, ассоциированный с $\mathfrak{sl}_2$-тройкой $(e,h,f)$. Ввиду известных результатов Барбаша и Вогана, отсюда следует, что все конечные $W$-алгебры, ассоциированные с нильпотентными элементами простых алгебр Ли, обладают конечномерными неприводимыми представлениями.