Extremal real algebraic geometry and $\mathcal A$-discriminants

Мы приводим набор новых, значительно более простых, контрпримеров к гипотезе Кушниренко. По ходу дела мы демонстрируем, как с помощью компьютера можно искать разреженные полиномиальные системы с максимальным количеством вещественных корней, что проливает некоторый свет на природу оптимальных верхних оценок в теории вещественных малочленов. Мы пользуемся недавно полученной сильной формулой для $\mathcal A$-дискриминанта и приводим новые оценки на топологию некоторых $\mathcal A$-дискриминантных многообразий. Следствием этого последнего результата является новая верхняя оценка на количество топологических типов некоторых вещественных алгебраических множеств, заданных разреженными полиномиальными уравнениями.