New fewnomial upper bounds from Gale dual polynomial system

Мы показываем, что имеется менее чем $((e^2+3)/4)2^{\binom{k}{2}}n^k$ положительных решений у системы малочленных уравнений, состоящей из $n$ многочленов от $n$ переменных, содержащей $n+k+1$ различных одночленов. Это значительно меньше, чем оценка Хованского $2^{\binom{n+k}{2}}(n+1)^{n+k}$. Мы сводим исходную систему к системе $k$ уравнений с $k$ неизвестными, зависящей от конфигурации векторов, двойственной по Гейлу к показателям мономов из исходной системы, а затем оцениваем число решений этой гейловской системы. С помощью этих методов мы показываем, что гиперповерхность в положительном ортанте пространства $\mathbb R^n$, заданная многочленом с $n+k+1$ мономами, имеет не более $C(k)n^{k-1}$ компактных компонент связности. Наши результаты применимы и к многочленам с действительными показателями.