On the ergodicity of cylindrical transformations given by the logarithm

Пусть $\alpha\in [0,1]$ и $\varphi\colon\mathbb T\to\mathbb R$ – измеримая функция; цилиндрический каскад $S_{\alpha\varphi}$ – это отображение из $\mathbb T\times\mathbb R$ в себя, заданное формулой $S_{\alpha\varphi}(x,y)=(x+\alpha, y+\varphi(x))$ (это отображение естественным образом возникает при исследовании некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений в $\mathbb R^3$). Мы доказываем, что для всех $\alpha\in[0,1]$ из множества полной меры цилиндрический каскад $S_{\alpha\varphi}$ эргодичен для всякой гладкой функции $\varphi$ с логарифмической особенностью, если среднее значение функции $\varphi$ обращается в нуль.
С каскадом $S_{\alpha\varphi}$ тесно связаны специальные потоки над $R_\alpha$ и под $\varphi+c$, где $c\in\mathbb R$ таково, что $\varphi+c>0$. Для случая, когда функция $\varphi$ имеет асимметричную логарифмическую особенность, наш результат доставляет первые примеры эргодических каскадов $S_{\alpha\varphi}$, у которых соответствующие специальные потоки являются перемешивающими. Именно, если эти последние потоки являются перемешивающими, то обычный способ проверки критерия существенных значений для $S_{\alpha\varphi}$, равносильного эргодичности, не срабатывает; мы предлагаем новый способ проверки этого критерия, который, как мы надеемся, окажется полезным и при исследовании вопросов эргодичности для других коциклов, сохраняющих бесконечную меру.