On affine hypersurfaces with everywhere nondegenerate second quadratic form

Согласно гипотезе Арнольда, вещественная проективная гиперповерхность, вторая квадратичная форма которой имеет постоянную сигнатуру $(k,l)$, разрезает проективное пространство на две области, одна из которых содержит $k$-мерное проективное подпространство, а другая – $l$-мерное. В статье мы доказываем справедливость аффинной версии этой гипотезы для гиперповерхностей постоянной сигнатуры, при уходе на бесконечность асимптотически приближающихся к квадратичному конусу. Мы рассматриваем также поверхности отрицательной кривизны в $\mathbb R^3$, которые при уходе на бесконечность асимптотически приближаются к двум половинкам стандартного конуса вращения, каждая из которых параллельно перенесена на некоторый вектор. Мы показываем, что если две сдвинутые половинки конуса пересекаются, то поверхность делит пространство на две части, каждая из которых содержит прямую линию. Если же две сдвинутые половинки конуса не пересекаются, то это, вообще говоря, неверно.