Bifurcations of cuspidal loops preserving nilpotent singularities

Каспидальная петля гладкого векторного поля $X_0$ на плоскости – это особый цикл (полицикл), образованный каспидальной особенностью с 2-струёй, эквивалентной 2-струе поля $y\frac{\partial}{\partial x}+(x^2+b_0 xy)\frac{\partial}{\partial y}$ и связкой между её локальными сепаратрисами. Рассматриваются гладкие деформации $X_\lambda$ в окрестности каспидальной петли $L$ поля $X_0$, зависящие от параметра $\lambda\in(\mathbb R^p,0)$. Кроме этого, предполагается, что при изменении параметра каспидальная особенность сохраняется. Пусть $P_0$ – отображение Пуанкаре поля $X_0$ вдоль $L$. В случае, если оно не тождественно, оно имеет асимптотическое разложение $P_0\colon u\to u+a_\pm|u|^\tau+\dotsb$, где $\pm$ – знак $u$, $a_\pm\neq 0$, а $\tau$ – коэффициент, принадлежащий последовательности $S=\{1,7/6,11/6,2,\dots\}=\{n\in\mathbb N\}\cup\{m+1/6,\ m\in\mathbb N,\ m\ge 1\}\cup\{p-1/6,\ p\in\mathbb N,\ p\ge 2\}$. В этом случае мы говорим, что $(X_0,L)$ имеет конечную коразмерность, равную номеру числа $\tau$ в последовательности $S$. Основной результат статьи состоит в следующем: цикличность деформации $X_\lambda$ имеет явную оценку сверху величиной ($e.o._{\mathfrak H_0}(s)$ асимптотически приближённо равно $5s/3$ при $s\to\infty$). Эта оценка достигается на типичных деформациях. Для аналитических деформаций можно доказать, что цикличность всегда конечна и определяется коразмерностью соответствующего Абелева интеграла в случае неконсервативной деформации Гамильтонова векторного поля.