Opers on the projective line, flag manifolds and Bethe ansatz

Мы рассматриваем задачу диагонализации гамильтонианов модели Годена ассоциированной с простой алгеброй Ли. Гамильтонианы этой модели действуют на тензорном произведении конечномерных представлений этой алгебры Ли. Мы показываем, что собственные значения гамильтонианов Годена закодированы так называемыми «операми» на проективной прямой ассоциированными с двойственной по Ленглендсу алгебры Ли. Эти оперы имеют регулярные особенности в отмеченных точках с предписанными вычетами и тривиальной монодромией.
Анзац Бете – это процедура явного построения собственных векторов обобщенных гамильтонианов Годена. Мы показываем, что каждое решение уравнений анзаца Бете задает то, что мы называем “опер Миуры” на проективной прямой. Мы также показываем, что пространство оперов Миуры – это объединение копий многообразия флагов (двойственной группы), одной для каждого опера. Это позволяет нам доказать, что все решения уравнений анзаца Бете, отвечающих фиксированному оперу, находятся во взаимно однозначном соответствии с точками открытого плотного подмножества многообразия флагов.
Уравнения анзаца Бете могут быть написаны для произвольной алгебры Каца–Муди, и мы доказываем аналог последнего утверждения в этом более общем контексте.
Для алгебр Ли типов $A$, $B$, $C$ похожие результаты были получены другими методами И. Щербак и А. Варченко, Е. Мухиным и А. Варченко.